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ホモトピー論 |
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| 代数的位相幾何学で、ホモロジー論と双璧をなすのがホモトピー論である。どちらかというと、こちらの方が空間をダイレクトに扱っている気がする。 ホモロジーで重要だったのがcofibrationであったように、こちらではfibrationの方が多く登場する。ホモロジー群でcofibrationに対し、exact sequenceが導けたように、ホモトピー群ではfibrationに対し、exact sequenceが導ける。 こう見ると、なんとなく、ホモトピー群はホモロジー群の双対版ですで終わってしまいそうであるが、実際の計算はホモトピー群のほうが尋常無く難しい。球面のホモトピー群ですら、高次では未だ未解決である。つまりは、ホモトピー群のほうがホモロジー群より情報量が多いという事なのだろう。Brown表現定理によりコホモロジーはホモトピー集合として表せるし、Dold-Thomの定理からホモロジー群も無限対称積のホモトピー群として表せることからもそれはうなずける。 ホモトピー論については西田の「ホモトピー論」【西田85】が教科書的な重要度を持っている。あとそれよりもわかりやすい解説として玉木の「ファイバー束とホモトピー」のサイトを見ておいた方がいい。
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